Vzorec pro rozlišovací schopnost dalekohledu

[JanB.]

Zdravím, potřeboval bych pomoc se vzorcem na výpočet rozlišovací schopnosti dalekohledu. Na internetu jsem našel, že vzorec vypadá takto:

R.S. = 138/D

kde D je průměr dalekohledu.
Problémy jsou ale s tím "138":
Za a) Našel jsem tenhle vzorec s hodnotami od 114 do 140 - co je správně?
Za b) Netuším, kde se to číslo vzalo ani co vlastně znamená

Proto se obracím na Vás, doufám, že mi někdo vysvětlí, co že je to číslo zač a také jak k němu přijdu (nějaký vzorec nebo tak něco).

P.S.: nemějte mě za blbce, pokud to je něco primitivního a já to jen nenašel  :o  :)

[Honza Ebr (honza42)]

To číslo je "vlnová délka světla"/1 mm, přepočteno z radiánů na obloukové vteřiny. To proto, že pro tu rozlišovací schopnost platí, že

tan (r.s.) = vlnová délka/průměr dalekohedu.

Pro malé hodnoty úhlu je úhel v radiánech ~ tangens úhlu, takže se dá tangens vyhodit (ale musí se s tim pořítat v radiánech). Pak se to dá rozdělit na dva zlomky a jeden z nich se vyčíslí na těch 100-něco. Konkrétní číslo pak závisí na tom, jako učlověk zvolí vlnovou délku, 114" je pro 550 nm.

[Maser]

Takže jestli jsem to pochopil a spočítal správně, vychází "ono číslo" pro vlnovou délku 400nm nějakých 82,5 a pro vlnovou délku 700nm vyjde 144,4.
Mám to správně, nebo jsem mimo?

[Maser]

Naopak?  :o

20cm objektiv

pro 400nm
r.s. = 144,4/200 = 0,722"

pro 700nm
r.s. = 82,5  /200 = 0,413"

Takže čím větší vlnová délka elektromagnetického záření, tím větší rozlišení?

Tak proč se potom staví tak obrovské zrcadla pro snímání záření o vlnových délkách v řádech centimetrů, když by pro stejné rozlišení mělo podle tebe stačit zrcadlo mnohem menší než zrcadla běžně používaná pro optické vlnové délky?  :-/

[MilAN]

Ne , promiň,  to původní máš  dobře. Jen se běžně používají jiné vztahy. Kratší vlnová délka vede  při stejném průměru k větší rozlišovací schopnosti a nutnosti přesnější optické plochy.
P.S. původní můj příspěvek jsem smazal !

[Rudohor]

Tak proč se potom staví tak obrovské zrcadla pro snímání záření o vlnových délkách v řádech centimetrů, když by pro stejné rozlišení mělo podle tebe stačit zrcadlo mnohem menší než zrcadla běžně používaná pro optické vlnové délky?  :-/Pretoze na inych vlnovych dlzkach je vidiet ine udalosti, pretoze to otvara cele nove oblasti poznania?

[Maser]

Pretoze na inych vlnovych dlzkach je vidiet ine udalosti, pretoze to otvara cele nove oblasti poznania? Promiň, ale asi si nepochopil, co ta věta vyjadřuje.
Zde se bavíme o rozlišovací schopnosti na růných vlnových délkách, a né o tom, proč pozorovat na různých vlnových délkách.

[MilAN]

Já to tedy trochu zamotám, aby to nebylo celkově tak jednoduché.

Uvedený vzorec platí pro dvě stejně jasné hvězdy, při pro určitou velikost kontrastu . Kdysi jsem o tom četl dost obsáhlé pojednání od D.D.Maksutova. Takže z té "konstanty" 114 se při menším kontrastu (dlouhoohniskové Newtony ) stává hodnota 120 a pro krátké katadioptry v velkým centrálním stíněním až 140. Při tom navíc záleží na všech aberacích dané optiky, které ovlivňují kontrast ( vždy dolů ) a tím "konstanta" dále roste.
V praxi to s tou vlnovou délkou také není zas tak jednoduché, protože kratší vlnové délka sice teoreticky vede k vyšší rozlišovací schopnosti, ale obraz je zase více ovlivňován atmosférou a její průzračností, kdežto v červené, kde je menší RS, je obraz méně ovlivňován atmosférou a ta je i více "průhledná". Oproti tomu zase oko v této oblasti jde s citlivostí ( a tím i kontrastem) silně dolů

[Maser]

Já to tedy trochu zamotámNaopak.
Teď jis hezky popsal rozdíl mezi teorií a praxí.

Mě ale zajímá tento výpočet i proto, abych si aspoň teoreticky spočítal, s jakou přesností může radioteleskop se zrcadlem 24m zjistit polohu zdroje vysílání na frekvenci 2200MHz. Konkrétně to je případ příjmu telemetrije při misích Apollo.
Takže tyto vztahy, alespoň teoreticky, snad platí v celém rozsahu elektromagnetického záření.

[Rudohor]

Je pravda , ze neviem cesky, kludne som mohol nieco nepochopit. Zato viem urcite, ze je podstatny rozdiel medzi presnostou urcovania polohy bodu a rozlisenim dvoch blizkych bodov. Napr na vrchol slnecnych hodin sa dava gula. Zvysuje to presnost urcenia polohy podla tiena, aj ked hodne znizuje rozlisovaciu schopnost dvoch blizkych vrcholov.

[Sasa3]

Mě ale zajímá tento výpočet i proto, abych si aspoň teoreticky spočítal, s jakou přesností může radioteleskop se zrcadlem 24m zjistit polohu zdroje vysílání na frekvenci 2200MHz. Konkrétně to je případ příjmu telemetrije při misích Apollo.
Takže tyto vztahy, alespoň teoreticky, snad platí v celém rozsahu elektromagnetického záření.

Ano, rozlisovaci schopnost a presnost urceni polohy jsou dve ruzne veci (byt spolu spojene). Presnost polohy bude typicky nejmene o rad lepsi nez rozlisovaci schopnost (zavisi to na detektoru, jeho citlivosti a sumu, expozicni dobe,...). Polohu muzes pocitat treba jako teziste obrazce vyvolaneho hvezdou. Proto muzes 50mm hledackem upointovat mnohem delsi ohnisko. Stejne tak byl schopen Auwers zmerit paralaxy hvezd v 11cm dalekohledu.

Pokud jde o ty formulky od 114/D az po 140/D, tak to jsou ruzne limity odvozene ruznymi lidmi pro ruzne definice rozlisovaci schopnosti.

Konkretne 138/D[mm] je Rayleigho limit a odpovida situaci, kdy se druha hvezda nachazi v prvnim difrakcnim minimu.

Formuli 116/D[mm] odvodil Dawes na zaklade praktickych pozorovani dvojhvezd (odpovida dvema stejne jasnym hvezdam asi 6. magnitudy).

Jsou i jine, Sparrowuv limit je jeste mensi 107/D a odpovida situaci, kdy je mezi hvezdami ploche rozdeleni jasnosti bez poklesu intenzity.

[MilAN]

Pokud dobře chápu Maserův dotaz, nejde mu ani o RS (t.j. určování vzdálenosti 2 diskrétních bodů) , ani o relativní polohu a pohyb v poli ( viz pointace a její přesnost) ale o absolutní polohu zdroje na obloze - t.j. v souřadném systému . Tady ale bude přesnost záležet na rozlišovací schopnosti odečtu polohy přístroje ( např. odečtu na enkodérech od výchozí nebo referenční polohy) a přesnosti celé mechaniky zařízení. A tady může být potom přesnost ve velkém rozsahu - ale zřejmě horší, než rozlišovací schopnosti optiky/radia, závislého na velikosti apertury a frekvenci signálu.

[Sasa3]

Jo, ta presnost absolutni polohy bude zaviset jeste na spouste dalsich veci (idealni je prevest ji na problem urceni relativni vzdalenosti vuci necemu znamemu, ale netusim, jestli to tak u lokalizace druzic delaji) a velmi pravdepodobne nebude urcujici faktor rozlisovaci schopnost toho radioteleskopu.

[Maser]

Pro JanB. :
Tak vidíš, jak vyčerpávající informace na tvůj dotaz se zde sešly.


Jinak pánové, nejde mi o nějaké přesné vyjádření polohy bodu ani o praktické problémy. Chtěl jsem se jen dozvědět, v jakých řádech má rozlišení třeba ten radioteleskop, a díky tomuto vláknu to už vím, sám jsem si to spočítal. Je jasné, že praxe je mnohem složitější.
Všem díky za informace.

[Jiri_Skalsky]

Srdečně všechny zdravím.
když čtu tyto řádky, dosti se divím  vašim závěrům.
Při bádání o studiu rozlišovací chopnosti by člověk měl projít kolem několika milníků, které jsou pro pochopení velice důležité.
Měl by si něco přečíst o Youngovu pokusu, který jasně ukazuje na vlnové vlastnosti světla. Dále by se měl dozvědět něco o Fraunhoferovu integrálu, který určuje  amplitudu vlnění za nějakým otvorem na stínítku.
Kvadrátem tohoto integrálu je Airyho funkce, určující profil intenzity v difrakčním kroužku.
Nalezením podmínky pro extrém, zvláště 1. minima dostáváme  rovnici, že

tang  [ch966]  =  1,22 * [ch955] / D

která definuje rozlišovací schopnost dalekohledu o průměru D a při vlnové délce světla [ch955] jako úhlový poloměr 1. postranního minima Airyho funkce.
A tady je potřeba se zastavit : Integrujeme-li Fraunhoferův integrál od středu nezacloněné vstupní apertury soustavy k okraji  D/2 podává skutečně tuto výše uvedenou  podmínku. Výška 1. postranního maxima bude nabývat cca 4 % hodnoty středového maxima.
Pokud ale máme aperturu s centrálním stíněním, integruje se mezikruží od nějakého d/2  / okraj sekundáru/ do do okraje vstupní apertury D/2.
Jejím kvadrátem bude opět Airyho funkce, ale s jiným profilem. Je všeobecně známo, že pokud se bude rozumě zvětšovat centrální stínění cca do 40 % D, průměr 1. minima se bude zmenšovat a tudíž rozlišovací schopnost zacloněného dalekohledu bude vyšší než nezacloněného.
Koeficient A se při zvětšování středního stínění  bude zmenšovat z 1,22 na 1,15, 1,10 až cca na 1,05.

tang  [ch966]  =  A * [ch955] / D

Při dalším zvětšování centrálního stínění  se bude na středu Airyho křivky objevovat minimum.
Se zvětšováním centrálního stínění se sice zmenšuje průměr  středového maxima, ale energie z něho se přelévá do postranních.
A právě tohle je příčinou neustálého hádání refraktoriánu s reflektoristy.
Hodnotíme-li přístroje podle typu pozorovaných objektů, je potřeba je rozdělit na tři-čtyři skupiny.
Dvojhvězdy se stejnou jasností složek, která je vysoká oproti jasu pozadí. Dvojhvězdy s jednou velmi jasnou a druhou s podstatně slabší složkou. Pozorování skvrnek na planetárním kotoučku s velmi malým rozdílem plošných intenzit. Tu čtvrtou skupinu uvádím pro jistotu taky, patří k nim objekty s velice nízkým jasem vůči svému pozadí - mlhoviny, galaxie.
Myslím, že nejčastěji diskutovanými skupinami objektů budou dvojhvězdy s podstatným rozdílem složek a útvary na planetách.
Hodnotíme-li dalekohledy z hlediska modulační přenosové funkce, určující jak budeme využívat z hlediska kvality zobrazení informace, pak skutečně nezacloněné soustavy mají zvláště pro střední frekvence výhodu. Profil MTF křivky zacloněného dalekohledu vychází jako profil nezacloněného dalekohledu o průměru D-d, kde d je průměr clonění.
Paradoxně, díky zúžení centrálního maxima zacloněné soustavy je kontrast-hodnoty MTF křivky pro nejmenší úhly vyšší než u nezacloněné. Při vizuálním pozorování se ale tohoto asi moc využít nedá, ale při fotografování zcela jistě ano.
Na závěr by stálo jen dodat, že existují soustavy, které jsou z hlediska optické filozofie mnohem snáze z hlediska kontrastu snáze realizovatelné a naopak. Jde jen o osobním přístupu k věci.
Jednou z nich je dlouhý Newton s malým centrálním stíněním.


Zdar JS